Incertidumbre de medición: por qué "medí 39 Ω" no alcanza

Cuando medimos una puesta a tierra, una tensión o una resistencia de aislación, anotamos un número y seguimos. Pero ningún instrumento da el valor "verdadero". Da un valor aproximado, y ese valor viene siempre con un margen de duda: la incertidumbre de medición.

En la mayoría de los trabajos domiciliarios la incertidumbre pasa desapercibida. Pero cuando el valor medido queda cerca de un límite, como los 40 Ω de la puesta a tierra de una vivienda, la incertidumbre decide si la instalación cumple o si estamos en una zona de duda. Esta nota explica el tema con palabras de obra y con un ejemplo resuelto.

De dónde sale el método

El tratamiento moderno de la incertidumbre nace de la Recomendación INC-1 de 1980 del Comité Internacional de Pesas y Medidas (CIPM). Esa recomendación ordenó las incertidumbres en dos grupos, tipo A y tipo B, y propuso tratarlas a todas como variables estadísticas.

Sobre esa base se publicó la guía ISO/IEC conocida como GUM ("Guía para la expresión de la incertidumbre de medida"), que en Argentina está adoptada como norma IRAM 35050. Para calibraciones existe además el documento europeo EA-4/02, adoptado como IRAM 35051. Los dos tipos de evaluación figuran en el Vocabulario Internacional de Metrología (VIM, JCGM 200:2008), cláusulas 2.28 y 2.29.

Algunas palabras que conviene tener claras

• Mensurando: la magnitud que queremos medir. Por ejemplo, la resistencia de puesta a tierra de una jabalina.
• Valor medido: el número que obtenemos. Siempre es una aproximación del mensurando. Sólo un conteo (cuántos tomas hay en un ambiente) da un valor exacto.
• Incertidumbre: el intervalo alrededor del valor medido dentro del cual razonablemente está el mensurando.
• Resultado de la medición: valor medido más su incertidumbre. Por ejemplo: 36,6 Ω ± 1,3 Ω.

Medir bien no es sólo leer un display. Exige conocer lo que se mide, el método, el instrumento y los efectos que pueden falsear la lectura, para corregirlos o reducirlos.

Errores sistemáticos y aleatorios

Antes de hablar de incertidumbre hay que separar dos clases de efectos:

• Sistemáticos: desplazan todas las lecturas para el mismo lado. Un telurímetro mal calibrado, puntas con mala conexión, el electrodo auxiliar demasiado cerca. Se corrigen o se eliminan; repetir la medición no los mejora.
• Aleatorios: hacen que cada lectura salga un poco distinta de la anterior. Variaciones de contacto, ruido, pequeños cambios del terreno. Repetir la medición sí ayuda: el promedio es más confiable que una sola lectura.

La incertidumbre se evalúa después de corregir los efectos sistemáticos conocidos.

Incertidumbre tipo A: la que sale de repetir

La incertidumbre tipo A se evalúa con estadística, a partir de varias lecturas tomadas en las mismas condiciones: mismo instrumento, mismo método, mismo lugar y en poco tiempo.

El procedimiento es este:

• Paso 1. Tomar n lecturas y calcular el promedio. Ese promedio es el valor medido.
• Paso 2. Calcular el desvío estándar experimental de las lecturas: s = √[ Σ (vi − v̄)² / (n − 1) ], donde vi es cada lectura y v̄ el promedio. En una planilla de cálculo es la función DESVEST.
• Paso 3. Calcular el desvío estándar de la media: S* = s / √n.
• Paso 4. Multiplicar por el factor t de Student: u(A) = ± S* × t, con t para 68,3 % y n − 1 grados de libertad.

¿De dónde sale esa fórmula? La estadística de Student relaciona la diferencia entre el valor medido V y el mensurando μ con la dispersión de la media: V − μ = S* × t. Como μ no se conoce, ese apartamiento es justamente lo que queda "incierto", y se le da el nombre de incertidumbre. El intervalo de ancho 2u(A) alrededor del valor medido es la zona donde se espera encontrar el mensurando.

El factor t corrige el hecho de que en obra casi nunca hacemos muchas lecturas. Con pocas lecturas, el promedio es menos confiable, y t agranda la incertidumbre para compensarlo. Sus valores, para una probabilidad del 68,3 % (equivalente a "una desviación estándar"), dependen de los grados de libertad, que son n − 1:

• 2 lecturas (1 grado de libertad): t = 1,84
• 3 lecturas (2 grados de libertad): t = 1,32
• 4 lecturas (3 grados de libertad): t = 1,20
• 6 lecturas (5 grados de libertad): t = 1,11
• 11 lecturas (10 grados de libertad): t = 1,05
• 101 lecturas (100 grados de libertad): t = 1,005
• infinitas lecturas (∞ grados de libertad): t = 1

La lección práctica es clara: con dos lecturas, t casi duplica la incertidumbre. Con tres ya mejora bastante. Por eso los métodos de medición piden repetir.

La distribución t fue publicada en 1908 por William Gosset, con el seudónimo "Student", justamente para trabajar con muestras chicas.

Incertidumbre tipo B: la que sale de lo que sabemos

La incertidumbre tipo B no se obtiene repitiendo lecturas. Se evalúa con información disponible: la exactitud que declara el fabricante del instrumento, el certificado de calibración, la resolución del display, la experiencia con el método.

Lo habitual es conocer un límite, un "±a" dentro del cual está el error, y suponer cómo se reparte el valor dentro de ese límite:

• Distribución uniforme (rectangular): cualquier valor dentro de ±a es igual de probable. Es la suposición más común para la exactitud de un instrumento. u(B) = a / √3.
• Distribución triangular: los valores cerca del centro son más probables que los de los extremos. u(B) = a / √6.

Ejemplo: un telurímetro con exactitud ±(2 % de la lectura + 3 dígitos) y resolución de 0,1 Ω. Para una lectura de 36,6 Ω, el límite es a = 0,02 × 36,6 + 3 × 0,1 ≈ 1,03 Ω. Con distribución uniforme, u(B) = 1,03 / √3 ≈ 0,60 Ω.

Incertidumbre combinada

Cuando hay incertidumbres tipo A y tipo B en las mismas unidades, se combinan sumando sus cuadrados y sacando raíz (es la ley de propagación de varianzas):

uc = √[ u(A)² + u(B)² ]

Si hay más fuentes tipo B (por ejemplo, la del instrumento y la de la resolución, cuando el fabricante no la incluye), se suman todas de la misma forma. El resultado se puede expresar en la unidad medida, en porcentaje o en partes por millón.

Incertidumbre expandida

La incertidumbre combinada equivale aproximadamente a una probabilidad del 68 %. Para informes técnicos, certificados de calibración y verificaciones reglamentarias se pide más seguridad. Para eso se multiplica por un factor de cobertura k:

U = k × uc

El factor k depende de la probabilidad que se quiera cubrir y de la distribución de la incertidumbre que manda:

• Tipo A (o combinada con forma normal): k = 2 para 95 % y k = 3 para 99 %
• Tipo B con distribución uniforme: k = 1,65 para 95 % y k = 1,71 para 99 %

La distribución uniforme tiene límites fijos: nunca pasa de ±a. Por eso con k = 1,65 ya cubre el 95 %, y no hace falta llegar a 2.

Cuando se combinan varias fuentes, la suma tiende a parecerse a una distribución normal, y lo más usado es k = 2. El informe siempre tiene que decir qué k se usó y para qué probabilidad.

Ejemplo completo: medición de puesta a tierra de una vivienda

La AEA 90364-7-770 (edición 2017) fija un máximo de 40 Ω para la toma de tierra de protección de una vivienda. La medición se hace con telurímetro por el método del 62 %: tres lecturas, moviendo el electrodo de potencial al 62 % de la distancia y 1 m más cerca y más lejos.

Caso 1. Lecturas: 36,2 Ω; 37,0 Ω; 36,5 Ω.

• Paso 1. Promedio: 36,57 Ω.
• Paso 2. Desvío estándar: s = 0,40 Ω.
• Paso 3. Desvío de la media: S* = 0,40 / √3 = 0,23 Ω.
• Paso 4. Tipo A: u(A) = 1,32 × 0,23 = 0,31 Ω (t para 2 grados de libertad).
• Paso 5. Tipo B (instrumento ±(2 % + 3 dígitos)): a = 1,03 Ω; u(B) = 1,03 / √3 = 0,60 Ω.
• Paso 6. Combinada: uc = √(0,31² + 0,60²) = 0,67 Ω.
• Paso 7. Expandida con k = 2: U = 1,34 Ω.

Resultado: 36,6 Ω ± 1,3 Ω (k = 2). El valor más alto posible, 37,9 Ω, queda por debajo de 40 Ω. La puesta a tierra cumple con margen.

Caso 2. Lecturas: 39,0 Ω; 39,6 Ω; 39,3 Ω.

Con el mismo cálculo: promedio 39,3 Ω, u(A) = 0,23 Ω, u(B) = 0,63 Ω, uc = 0,67 Ω y U = 1,33 Ω.

Resultado: 39,3 Ω ± 1,3 Ω (k = 2). El intervalo va de 38,0 Ω a 40,6 Ω y cruza el límite. Si sólo miramos el promedio, "cumple". Si miramos la incertidumbre, no podemos asegurarlo.

¿Qué conviene hacer en el caso 2? Mejorar la puesta a tierra (una jabalina más larga o una segunda jabalina bien separada) para dejar un margen claro, en lugar de entregar un valor que roza el límite. Aplicar la incertidumbre al decidir si se cumple es un criterio de buena práctica que conviene acordar antes con quien recibe el informe; en este ejemplo lo usamos para mostrar el razonamiento.

Buenas prácticas para medir en obra

• Tomá siempre más de una lectura. Con tres, la incertidumbre tipo A ya es razonable.
• Anotá todas las lecturas, no sólo el promedio.
• Usá un instrumento con calibración vigente y guardá el certificado: de ahí sale la incertidumbre tipo B.
• Leé en el manual la exactitud del instrumento para el rango que estás usando.
• Corregí primero los errores sistemáticos: conexiones firmes, electrodos auxiliares a la distancia correcta, puesta a tierra desconectada de la instalación al medir.
• Informá el resultado completo: valor, incertidumbre expandida, k usado y fecha.
• Si el resultado queda pegado a un límite, no lo des por bueno sin margen: mejorá la instalación o repetí la medición con otro método.

En resumen

• Ninguna medición da el valor exacto: siempre hay una incertidumbre.
• Tipo A: se calcula repitiendo lecturas, con el desvío de la media y el factor t de Student.
• Tipo B: se calcula con la exactitud del instrumento y otra información, suponiendo una distribución (uniforme: a/√3; triangular: a/√6).
• Se combinan con raíz de la suma de cuadrados y se expanden con k, en general k = 2.
• Cerca de un límite reglamentario, la incertidumbre define si podés asegurar que la instalación cumple.

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Referencias

• CIPM, Recomendación INC-1 (1980), sobre la expresión de las incertidumbres experimentales.
• ISO/IEC Guide 98-3, "Guide to the expression of uncertainty in measurement" (GUM). Adoptada como IRAM 35050 (2001).
• EA-4/02, "Expression of the uncertainty of measurement in calibration". Adoptada como IRAM 35051 (2004).
• JCGM 200:2008, Vocabulario Internacional de Metrología (VIM), cláusulas 2.28 y 2.29.
• AEA 90364-7-770, edición 2017 (puesta a tierra de protección ≤ 40 Ω, 770.14.4.1; medición, 770.19.5.3).
• Material técnico sobre evaluación de incertidumbres de medición difundido por la AEA.

Nota: los valores de t son los de la distribución de Student para 68,3 %. Los ejemplos de cálculo y la exactitud del instrumento son ilustrativos y propios de EGC: usá siempre los datos del manual y del certificado de tu instrumento.